ลำดับเรขาคณิตคืออะไร?
ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับของตัวเลขที่มีรูปแบบเฉพาะ โดย อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันจะมีค่าเท่ากันเสมอ เรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) หรือ r
ตัวอย่าง:
- 2, 4, 8, 16, … (r = 2)
- 100, 50, 25, 12.5, … (r = 0.5)
- -3, 9, -27, 81, … (r = -3)
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต
พจน์ทั่วไป (term) ของลำดับเรขาคิต คือสูตรที่ใช้หาค่าของพจน์ใดๆ ในลำดับโดยไม่ต้องเขียนพจน์ทั้งหมดออกมา
- aₙ = arⁿ⁻¹
โดยที่:
- aₙ คือ พจน์ที่ n
- a คือ พจน์แรกของลำดับ
- r คือ อัตราส่วนร่วม
- n คือ ลำดับของพจน์ที่ต้องการหา
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของพจน์ทั้งหมดในลำดับเรขาคณิต
- สูตรผลบวก n พจน์แรก:
- Sₙ = a(1-rⁿ) / (1-r) เมื่อ r ≠ 1
การนำลำดับเรขาคณิตไปใช้
ลำดับเรขาคณิตมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันและวิชาอื่นๆ เช่น
- การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
- การเติบโตของประชากร
- การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี
- ปัญหาทางฟิสิกส์และวิศวกรรม
สิ่งที่ควรรู้เพิ่มเติม
- อัตราส่วนร่วม (r) อาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้
- ถ้า r > 1 ค่าของพจน์จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
- ถ้า 0 < r < 1 ค่าของพจน์จะลดลงเรื่อยๆ
- ถ้า r = 1 ทุกพจน์ในลำดับจะมีค่าเท่ากัน
- ถ้า r < 0 เครื่องหมายของพจน์จะสลับกันไปมา
ตัวอย่างที่ 1: หาพจน์ที่ 8 ของลำดับ 4, 12, 36, …
วิธีแก้
- พจน์แรกของลำดับ (a) คือ 4
- อัตราส่วนร่วม (r) คือ 3 (หาระหว่างพจน์ที่ 2 กับพจน์ที่ 1)
- ลำดับที่ต้องการหา (n) คือ 8
สูตรหาพจน์ที่ n term = a * r**(n-1)
คำนวณ term = 4 * 3**(8-1) = 1296
ตอบ พจน์ที่ 8 ของลำดับคือ 1296
ตัวอย่างที่ 2: หาผลบวก 7 พจน์แรกของลำดับ 81, 27, 9, …
วิธีแก้
- พจน์แรกของลำดับ (a) คือ 81
- อัตราส่วนร่วม (r) คือ 1/3 (หาระหว่างพจน์ที่ 2 กับพจน์ที่ 1)
- จำนวนพจน์ที่ต้องการหาผลบวก (n) คือ 7
สูตรหาผลบวก n พจน์แรก (กรณี r != 1) sum_n = a * (1 – r**n) / (1 – r)
คำนวณ sum_n = 81 * (1 – (1/3)**7) / (1 – (1/3)) = 240.25
ตอบ ผลบวก 7 พจน์แรกของลำดับคือ 240.25
ตัวอย่างที่ 3: พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ 2 และอัตราส่วนร่วมคือ -1/2 จงหาพจน์ที่ 5
วิธีแก้
- พจน์แรกของลำดับ (a) คือ 2
- อัตราส่วนร่วม (r) คือ -1/2
- ลำดับที่ต้องการหา (n) คือ 5
สูตรหาพจน์ที่ n term = a * r**(n-1)
คำนวณ term = 2 * (-1/2)**(5-1) = -1/4
ตอบ พจน์ที่ 5 ของลำดับคือ -1/4
